admin
Совокупности уравнений, неравенств, систем и т.п.
Вообще в школьных учебниках алгебры о совокупностях информации довольно мало. Про совокупности упоминается лишь вскользь, да и то в старших классах.
С нашей точки зрения это не очень правильно хотя бы благодаря тому, что применение совокупностей очень удобно при оформлении решений уравнений, неравенств и их систем. Давайте восполним данный пробел.
Ниже представлен материал, дающий полное представление о совокупностях уравнений, неравенств, систем и их различных комбинаций. Здесь вы сможете найти определения совокупностей и их решений, принятые определения, а еще поясняющие варианты.
Что такое совокупность уравнений, неравенств, систем?
Сразу скажем, что если у Вас сформировано хорошее представление о системах уравнений и системах неравенств, то определения совокупностей воспримутся совершенно не сложно. Прочитав их, Вы сразу почувствуете, словно уже их встречали.
11 класс, 26 урок, Равносильность уравнений
Информация из учебников [1, с. 24; 2, с. 129; 3, с. 64-65] позволяет записать следующее обозначение совокупности уравнений:
Совокупностями уравнений называются записи, собой представляет несколько размещенных друг под другом уравнений, которые слева воссоединены прямоугольной скобкой, и обозначающие много всех подобных решений, которые считаются решениями хотя бы одного из уравнений совокупности.
Давайте проведем параллель между системами и совокупностями. Системы записывают при помощи фигурной скобки, а совокупности – при помощи прямоугольной, системы обозначают много решений, которые считаются решениями каждого уравнения системы, а совокупности – много решений, которые считаются решениями хотя бы одного уравнения совокупности.
Для наглядности приведем варианты совокупностей уравнений:
,
.
Тут стоит сказать, что в школе при записи совокупностей часто не применяют квадратную скобку, а просто перечисляют через запятую составляющие этой совокупности.
Так последняя совокупность из предыдущего абзаца может быть записана как x+y 2 +z 4 =0 , x·y·z=0 , z=5 .
Подобно определяется и совокупность неравенств:
Совокупность неравенств – это запись, которая собой представляет несколько записанных одно под иным неравенств, объединенных слева прямоугольной скобкой, и обозначающая много решений, являющихся решениями хотя бы одного из неравенств совокупности.
Это обозначение находится в согласии с описанием совокупностей неравенств, приведенным в учебнике Мордковича [1, с. 222] .
Вот пример совокупности неравенств
.
При описании совокупностей если необходимо можно уточнить число составляющих их уравнений и неравенств, число переменных и вид уравнений и неравенств.
Например, совокупность из предыдущего абзаца – это совокупность 2-ух неравенств с одной переменной x , причем составляющие ее неравенства – целые рациональные первой стадии.
Под символ совокупности можно поместить не только уравнения или неравенства в отдельности.
Имеет смысл рассматривать, к примеру, совокупность уравнения и 2-ух неравенств, неравенства и системы уравнений, совокупность 2-ух систем неравенств и т.п. При этом основное хранить смысл, заключающийся все вместе, — она значит много решений, являющихся решением хотя бы одного объекта совокупности.
Например приведем совокупность 2-ух систем неравенств
и совокупность подобного варианта
.
Что именуется решением совокупности?
К совокупностям конкретно относятся их решения. Дадим определения решений совокупностей с одной переменной, а еще с 2-мя, тремя и огромным числом переменных.
Решением совокупности с одной переменной именуется такое значение переменной, которое считается решением хотя бы одного составляющего элемента совокупности.
К примеру, если идет речь о совокупности уравнений с одной переменной, то решение совокупности – это значение переменной, которое считается решением хотя бы одного составляющего ее уравнения.
Так x=3 – такое решение совокупности неравенств
, так как 3 считается решением первого неравенства. А вот нуль не считается решением записанной совокупности, так как это значение не считается решением ни одного неравенства совокупности, на самом деле, 0>1 и 0 2 ?4·0+2 – неверные числовые неравенства.
Решением совокупности с 2-мя, тремя и огромным числом переменных именуется двойка, тройка и т.д. значений переменных, являющаяся решением хотя бы одного объекта совокупности.
Как пример рассмотрим очередную совокупность
.
Пара значений (3, 0) есть решение этой совокупности, так как она считается решением системы
, из-за того что 3+0>0 и 3?3 — верные неравенства. А пара значений x=?1 , y=2 не считается решением совокупности, так как она не считается решением ни уравнения x 2 +y 2 =4 , ни системы неравенств
.
Иногда применяются термины «приватное решение совокупности» и «общее решение совокупности». Под приватным решением совокупности знают одно отдельно взятое решение, а общим решением именуют много всех приватных решений совокупности.
Но чаще говорят просто о решении совокупности, а уже из контекста черпают дополнительную информацию, о приватном или об общем решении говорится.
Подводя итог стоит сказать, что из определения совокупности и ее решений следует такой вывод: решение совокупности есть объединение решений всех элементов, составляющих совокупность.
А решение систем, напомним, есть пересекание решений всех ее элементов.
Продолжать изучение темы предлагаем материалом статьи равнозначные совокупности.
Разница между системой и совокупностью в математике
Решению уравнений, системы уравнений или системы неравенств, всегда уделялось достаточно внимания при изучении математики, физики в программе начальной школы. Метод решения системы уравнений активно используется в науке, в статистике, при изучении физических проблем.
6 класс, 22 урок, Линейные неравенства
Благодаря этому интересно знать сущность понятий системы и совокупности.
Обозначение
Система — выбор результатов решений, которые подходят всем уравнениям системы. Этот поиск считается как бы пересечением результатов решений.
Совокупность — выбор результатов решений, которые подходят хотя бы для одного уравнения.
Решение совокупности — это объединение решений каждого уравнения.
Сравнение
Рассмотрим решение системы 2-ух уравнений с одной переменной. Находим значения переменной, с которыми каждое уравнение системы будет обращаться в верное равноправие.
Решением системы уравнений называются те значения переменной, при которых оба уравнения системы будут обращаться в верные числовые равенства.
Систему уравнений будем решать так.
Ищем решение для любого уравнения и потом выбираем из полученных значений те, которые считаются решением для любого уравнения системы. Система подразумевает выбор, пересекание решений.
Другими словами при решении системы уравнений или неравенств из большинства решений подбирается определенные решения, при которых делаются все равенства и/или неравенства системы.
Рассмотрим совокупность 2-ух уравнений с одной переменной.
Находим все значения переменной, с которыми каждое уравнение совокупности обращалось бы в верное числовое равноправие.
Решением совокупности уравнений считают любое значение переменной, при котором хотя бы одно уравнение совокупности обращалось бы в верное числовое равноправие.
11 класс, 27 урок, Общие методы решения уравнений
Совокупность подразумевает объединение решений. То имеется возможность выбора большинства или определенного решения, при котором могло бы выполниться хотя бы одно из равенств и/или неравенств системы
Есть совокупность из 2 уравнений.
Решая первое уравнение, узнали ответ 0. Решая второе уравнение, получили 3 ответа -11,0,4.5.
Решением совокупности будут все ответы -11,0,4.5.
А если бы эта была система уравнений, то только ответ 0 будет правильным ответом для того и прочего уравнения.
Так образом все вместе идёт объединение результатов.
Они восполняют друг друга.
В системе пересекание результатов есть решение системы.
Совокупность уравнений и неравенств
Совокупность уравнений (неравенств) – это несколько неравенств или уравнений, решения которых необходимо соединить.
Совокупности похожи на системы – в них также присутствуют два или более неравенства (уравнения), однако в отличие от системы мы в поисках решение, которое подходит хотя бы одному из них (а не всем сразу).
Давайте сравним решение системы и совокупности:
| \(\begin2x-8>0\\\frac<1><2>x?3,5\end\) | \( \left[ \begin2x-8>0\\ \frac<1><2>x?3,5\end\right.\) |
Сначала и в том и другом случае необходимо решить каждое неравенство и нанести решения на числовую ось.
| \(\begin2x>8 \; |:4\\\frac<1><2>x?3,5 \;\;\; |\cdot 2 \end\) | \( \left[ \begin2x>8 \; \;|:4\\ \frac<1><2>x?3,5 \;\;\; |\cdot 2\end\right.\) |
| \(\beginx>4\\x?7 \end\) | \( \left[ \beginx>4\\ x?7 \end\right.\) |
 |
9 класс, 4 урок, Совокупности неравенств |
| Ответ: \((4;7]\) | Ответ: \((-?;+?)\) |
Другими словами решение неравенств в середине системы и совокупности одинаково. Но разница возникает, когда мы начнем искать конечный ответ.
В случае с системой мы «пересекаем» решения: т.е. ищем иксы, которые подойдут и первому, и второму неравенству. А в случае с совокупностью мы «объединяем» решения, другими словами находим иксы, которые подойдут хотя бы одному неравенству (или двоим сразу).
Воочию эту идею можно представить так:
решение системы решение совокупности
В первом перенесем \(-5\) в правую часть, а в другом – вынесем за скобку икс.
\( \left[ \begin\frac<3>>6\\ x(x-7) 18\\ x(x-7) квадратные с одной переменной. Решая их в отдельности (через дискриминант или по теореме Виета – не имеет значение), находим корни:
— у первого уравнения корни: \(-3\) и \(1\);
— у второго уравнения корни: \(-3\) и \(7\).
А финальным ответом будут они все, другими словами:
Замечание: если бы мы в последнем примере решали не совокупность, а систему, то в ответ пошло бы лишь одно значение: \(-3\) (из-за того что только оно подходит двоим уравнениям сразу).