admin
Разница между комбинированием и расположением
Б. Паскаль и Ферма, изучая теорию азартных игр, были основателями нового раздела математики, называемого комбинаторикой. В ней изучается, какое кол-во комбинаций заданного типа можно составить из предложенных элементов.
Обозначение
Комбинирования — соединения, каждое из которых составлено из k1 элементов, подобранных из n1 разных элементов, состав которых отличается хотя бы на один компонент.
Расположения — cоединения, каждое из которых составлено из k1 элементов, взятых из n1 разных элементов, у которых состав элементов или их порядок выделяют их один от одного.
Сравнение
Комбинирования — соединения, содержащие k1 элементов, подобранных из n1 разных элементов. Комбинирования друг от друга отличаются хотя бы на один компонент.
Порядок движения элементов не важен.
Число сочетаний равно n1 элементов.
Наборы, которых выделяет только порядок движения элементов, однако не состав, считаются похожими.
Отличие сочетаний один от одного составом, однако не порядком движения элементов.
Пример.
Размещения. Перестановки. Сочетания. Часть 1
Комбинирование — необходимо подобрать 3 предмета из 6. Есть предметы с номерами от 1 до 6. Выбираем из данного набора предметы в любом порядке с номерами 1, 4 и 6. Это и есть комбинирование.
Расположениями именуют соединения, каждое из которых содержит k1 элементов, взятых из n1 разных элементов, которых выделяет один от одного порядок или состав элементов. В расположениях не должно быть дубликатов.
Комбинирования. Расположения. Перестановки
Перестановками именуют конфигурации, которые состоят из одних и тех же n разных элементов и выделяющиеся только порядком их расположения. Число всех потенциальных перестановок
Комбинаторика 3. Число сочетаний
Где
(
).
Рассмотрим пример: сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1,2,3, если каждая цифра входит в изображение числа лишь единожды?
.
Или такой пример.
Порядок выступления семи участников на студенческой конференции определяется жребием. Сколько разных вариантов жеребьевки при этом возможно?
Решение: любой вариант жеребьевки отличается только порядком участников, другими словами считается перестановкой из 7 элементов. Их число находится
Комбинаторика, факториал, перестановка, размещение, сочетание
.
Пример. К кассе за получением денег подошли одновременно 4 человека.
Сколькими способами они могут выстроиться в очередь?
Решение: очередь состоит из 4 разных лиц, благодаря этому в каждом способе составления очереди принимается во внимание порядок их расположения. Аналогичным образом, имеют место перестановки из 4-ех человек, их число равно
Расположениями именуют конфигурации, которые составлены из n разных элементов по m элементов, которые выделяются либо их порядком, либо составом элементов.
Число всех потенциальных локаций рассчитывается
Пример: сколько можно составить сигналов из 6 флажков разного цвета, взятых по два?
Комбинаторика: размещения, перестановки, сочетания
Пример: расписание одного дня состоит из пяти уроков.
Определить число вариантов расписания при подборе из 11 дисциплин.
Решение: любой вариант расписания представляет набор 5 дисциплин из 11, выделяющийся от иных вариантов, как составом дисциплин, так и порядком их движения, другими словами считается расположением из 11 элементов по 5. Число вариантов расписания находят по формуле
Комбинированиями именуют конфигурации, которые составлены из n разных элементов по m элементов, которые выделяются хотя бы одним элементом.
Число сочетаний
Пример: сколькими способами можно подобрать 2 детали из ящика, содержащего 10 деталей?
Пример: в шахматном турнире принимают участие 16 человек.
Сколько партий должно быть сыграно в турнире, если между любыми 2-мя участниками должна быть сыграна одна партия?
Решение: каждая партия играется 2-мя участниками из 16 и отличается только составом пар участников, другими словами собой представляет комбинирование из 16 элементов по два
Пример: есть 6 штаммов бактерий.
Для определения скорости их роста нужно подобрать три штамма.
Сколькими способами можно это сделать?
Решение: способы отбора считаются разными, если каждый отобранный штамм отличается хотя бы одним элементом.
Это число
Другими словами есть 20 вариантов.
Необходимо выделить, что числа локаций, перестановок и сочетаний связаны равенством
При решении задач комбинаторики применяют такие правила.
Правило суммы: если некоторый объект A может быть подобран из совокупности объектов m способами, а другой объект В может быть подобран n способами, то подобрать либо А, либо В можно
способами.
Правило произведения: если объект А можно подобрать из совокупности объектов m способами и после любого подобного выбора объект В можно подобрать n способами, то пара объектов (А,В) в указанном порядке может быть подобрана
способами.
Пример: в студенческой группе 14 девушек и 6 юношей. Сколькими способами можно подобрать, для исполнения самых многообразных заданий, 2-ух студентов одного пола?
Решение: по правилу перемножения 2-ух девушек можно подобрать
способами, а 2-ух юношей
способами. Необходимо выбирать 2-ух студентов одного пола: 2-ух девушек или 2-ух юношей.
Согласно правилу сложения этих методов выбора будет 182 + 30 = 212.
Контрольные вопросы
2. Какие вершины графа можно назвать соседними?
3. Реально ли нарисовать граф с нечетным числом нечетных вершин?
4. Чем определяется полный граф?
5. Что именуют перестановками, расположениями, комбинированиями?
6. Выразить правила суммы и произведения.